Как сохранить состояние активности после анимации при повороте экрана?

Для описанного вами приложения вы можете использовать ValueAnimator и установить для него AnimatorUpdateListener для записи состояния после каждого кадра анимации.

Чтобы прослушивать изменения ориентации и сохранять состояние анимации, вы должны сначала включить android:configChanges="orientation" в тег <activity> вашего манифеста. Это гарантирует, что ваша активность не будет воссоздана при изменении ориентации и что onCreate() не будет вызываться снова. Всякий раз, когда происходит изменение ориентации, будет вызываться onConfigurationChanged(), поэтому вы должны переопределить его, чтобы сохранить состояние анимации.

Итак, в вашем onCreate() вы могли бы сделать что-то вроде:

ValueAnimator valueAnimator = ValueAnimator.ofObject(new IntEvaluator(),
                            initialPosition, finalPosition);
valueAnimator.setDuration(duration);
valueAnimator.addUpdateListener(new ValueAnimator.AnimatorUpdateListener() {
    @Override
    public void onAnimationUpdate(ValueAnimator animation) {
        // mCurrentPosition should be a member variable 
        mCurrentPosition = (int)animation.getAnimatedValue();
        // Update the position of your button with currentPosition
    }
}
valueAnimator.start();

и ваш onConfigurationChanged() должен выглядеть так:

@Override
public void onConfigurationChanged(Configuration newConfig) {
    super.onConfigurationChanged(newConfig);
    setContentView(R.layout.your_layout);      
    // Set the position of your button with mCurrentPosition
}

Для получения дополнительной информации см. https://developer.android.com/reference/android/animation/ValueAnimator.html и https://developer.android.com/guide /topics/resources/runtime-changes.html.